1. Matematika Sebagai Ilmu Deduktif
Matematika bersandar pada sistem deduktif, yaitu proses menarik kesimpulan dari aksioma-aksioma dasar yang diasumsikan benar. Sebagai contoh:
Dalam geometri Euclides, semua teorema dibangun dari lima aksioma dasar.
Dalam aritmetika, kita menggunakan aksioma seperti himpunan bilangan bulat untuk membuktikan hasil-hasil tertentu.
Pendekatan ini membuat matematika tampak “pasti,” karena jika aksioma-aksioma dasar benar, maka semua kesimpulan yang ditarik darinya juga dianggap benar. Namun, ada dua masalah mendasar:
a. Relativitas Aksioma
Aksioma adalah asumsi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya dalam sistem itu sendiri. Sebagai contoh:
Aksioma paralel dalam geometri Euclides berbunyi bahwa melalui satu titik di luar garis, hanya ada satu garis sejajar. Namun, dalam geometri non-Euclides (seperti geometri hiperbolik dan eliptik), aksioma ini diganti, menghasilkan sistem geometri yang sepenuhnya berbeda.
Artinya, kebenaran dalam matematika bersifat relatif terhadap aksioma yang dipilih.
b. Teorema Ketidaklengkapan Gödel
Kurt Gödel membuktikan bahwa dalam sistem matematika yang cukup kompleks, selalu ada pernyataan yang tidak dapat dibuktikan benar atau salah menggunakan aturan sistem tersebut. Ini menunjukkan bahwa matematika, meskipun tampak pasti, memiliki batasan inheren, dan tidak semua pertanyaan memiliki jawaban yang definitif.